Cho đường tròn tâm o bán kính r
Cho đường tròn (O;R) ( con đường tròn trọng tâm O, nửa đường kính R) và điểm A cố định nằm trên tuyến đường tròn (O;R). BC là 1 trong đường kính biến đổi của con đường tròn (O;R) và ko đi qua điểm A. Đường tròn đường kính AO cắt những đoạn AB, AC tại các điểm đồ vật nhì tương xứng là M, N. Tia OM giảm (O;R) trên điểm P.. điện thoại tư vấn H là trực trọng tâm của tam giác AOP.. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMON là hình chữ nhật.
Bạn đang xem: Cho đường tròn tâm o bán kính r
b) Tđọng giác PHOB nội tiếp được trong một con đường tròn với (fracOH.PCAC) ko phụ thuộc địa điểm của những điểm B, C.
c) Xác xác định trí của những điểm B, C sao cho tam giác AMN gồm diện tích lớn nhất.
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Tứ giác AMON là hình chữ nhật.
Ta có: (widehat BAC = 90^0) (Do A ở trong mặt đường tròn đường kính BC)
Ta có: (widehat AMO = widehat ANO = 90^0) (Do M, N ở trong mặt đường tròn 2 lần bán kính AO)
Xét tứ đọng giác AMON ta có: (widehat BAC = widehat AMO = widehat ANO = 90^0). Suy ra tđọng giác AMON là hình chữ nhật (tđọng giác tất cả 3 góc vuông).
b) Tứ giác PHOB nội tiếp được vào một mặt đường tròn và (fracOH.PCAC) ko phụ thuộc địa chỉ của những điểm B, C.
Ta có: tam giác AOP cân tại O nhưng OH là con đường cao buộc phải OH mặt khác cũng là đường phân giác vào tam giác AOPhường.
Suy ra: (widehat POH = widehat AOH = frac12widehat AOP)
Mà (widehat ABP = frac12widehat AOP) (quan hệ nam nữ giữa góc nội tiếp và góc ngơi nghỉ trung khu cùng chắn cung APhường của con đường tròn (O)).
Nên ta có: (widehat ABP = widehat POH,,,hay,,,widehat HBP = widehat POH,,,,)
Mà 2 đỉnh B, O là 2 đỉnh kề nhau với cùng quan sát cạnh PH những góc đều bằng nhau.
Xem thêm: Top 10 Game Online Hay Nhất Cho Đt Samsung Galaxy Y, S, Note
Suy ra tđọng giác PHOB nội tiếp con đường tròn đường kính PH
Ta gồm (angle OMA = 90^0) (góc nội tiếp chắn nửa con đường tròn 2 lần bán kính OA) ( Rightarrow OM ot MA Rightarrow OP ot AB)
( Rightarrow P) là vấn đề ở vị trí chính giữa của cung bé dại AB với M là trung điểm của AB (dục tình vuông góc thân đường kính cùng dây cung)
( Rightarrow PA = PB) (nhị dây căng hai cung bởi nhau)
( Rightarrow Delta PAB) cân nặng tại P ( Rightarrow angle PAB = angle PBA).
Lại tất cả (angle PAB = angle POE) (hai góc nội tiếp thuộc chắn cung ME)
( Rightarrow angle PBA = angle POE).
( Rightarrow ) Tđọng giác PHOB là tđọng giác nội tiếp (Tđọng giác gồm hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau).
Ta có:
(angle ACP = angle ABP) (nhị góc nội tiếp thuộc chắn cung AP của mặt đường tròn (left( O ight)))
(angle ABPhường = angle HOP) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP)
( Rightarrow angle ACP.. = angle HOP,,,left( 1 ight))
Ta lại có:
(angle APC = angle ABC) (hai góc nội tiếp thuộc chắn cung AC của đường tròn (left( O ight)))
(angle ABC = angle HPO) (nhị góc nội tiếp thuộc chắn cung OH)
( Rightarrow angle APC = angle HPO,,left( 2 ight))
Từ (1) và (2) ( Rightarrow Delta APC slặng Delta HPO,,left( g.g ight) Rightarrow fracACOH = fracPCPO Rightarrow fracOH.PCAC = PO = R)
Vậy (fracOH.PCAC = R) không phụ thuộc vào vị trí của các điểm B, C.
c) Xác xác định trí của những điểm B, C thế nào cho tam giác MAN gồm diện tích S lớn nhất?
điện thoại tư vấn I là trung điểm của OA ( Rightarrow I) là trọng tâm đường tròn 2 lần bán kính OA.
Ta tất cả (angle BAC = 90^0) (góc nội tiếp chắn nửa con đường tròn (left( O ight)))
( Rightarrow angle MAN = 90^0 Rightarrow angle MAN) nội tiếp chắn nửa đườn tròn (left( I ight))( Rightarrow MN) là đường kính của con đường tròn (left( I ight) Rightarrow M,I,N) trực tiếp hàng.
Ta có (Delta OAB) cân trên O ( Rightarrow angle OAB = angle OBA)
(Delta IAM) cân tại I ( Rightarrow angle IAM = angle IMA = angle OAB)
( Rightarrow angle IMA = angle OBA). Mà nhì góc này ở đoạn đồng vị ( Rightarrow MN//OB Rightarrow MN//BC).
( Rightarrow N) là trung điểm của AC (định lí đường trung bình của tam giác)
( Rightarrow S_Delta AMN = frac12AM.AN = frac12.frac12AB.frac12AC = frac18.AB.AC)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : (AB.AC le fracAB^2 + AC^22 = fracBC^22 = frac4R^22 = 2R^2)
( Rightarrow S_Delta AMN le frac18.2R^2 = fracR^24).
Xem thêm: Download Game Đánh Nhau Hấp Dẫn Về Máy Điện Thoại, Tải Game Đánh Nhau Hấp Dẫn Về Máy Điện Thoại
Vậy (S_Delta AMN,,max = fracR^24). Dấu bằng xẩy ra ( Leftrightarrow AB = AC Rightarrow A) là điểm chính giữa của cung BC.
